Grafická hádanka II

Ve druhé hádance zkusíme na obrázek aplikovat myšlenku \[ \frac{A}{B} \cdot B=\frac{A \cdot B}{B}=A \] Konkrétně použijeme \[ \frac{1}{3}\cdot3=\frac{1\cdot3}{3}=1 \] popřípadě \[ \frac{100}{3}\cdot3=\frac{100\cdot3}{3}=100 \] Mějme tedy dva obrázky spolu s jejich číselnou reprezentací

A		$(1,100,1,100,1,100,1,100)$
B		$(3,3,3,3,3,3,3,3)$

Po dělení \[ \frac{A}{B} \] dostaneme hodnoty \[ (0.33...,33.33...,0.33...,33.33...,0.33...,33.33...,0.33...,33.33...) \] Pro zobrazení čísla jako barvy nemůžeme použít desetinnou část. Uvažujme tedy pro vykreslení do rastru pouze s celou a navíc pro lepší viditelnost vynásobenou třemi. Dostaneme hodnoty 0 a 99.

Obrázek vypadá na první pohled stejně jako původní A ovšem, jak vidíme, číselně se liší. Tam kde je 100 máme ve výsledném 99 a tam kde je 1 máme 0.

Co se stalo?

"Odpověď je samozřejmě jednoduchá" říkáte si :) Chyba vznikla uříznutím desetinné části o čemž se můžeme přesvědčit použitím zaokrouhlení. Místo \[ 0.99...\doteq0 \] \[ 99.99...\doteq99 \] dejme \[ 0.99...\doteq1 \] \[ 99.99...\doteq100 \] Dostaneme tedy původní obrázek A, jak napovídá matematická reprezentace na začátku.

Ovšem opět zbystřete!

Podívejme se znovu na hodnoty před zaokrouhlením: \[ (0.99...,99.99...,0.99...,99.99...,0.99...,99.99...,0.99...,99.99...) \] Jak je to možné? Proč má výsledný obrázek hodnoty $0.99...$ a $99.99...$, zatímco ten původní $1$ a $100$?

Otázka

Kde máme chybu? Proč nám bez zaokrouhlení nevyšel číselně stejný obrázek jako A?