Grafická hádanka II

Ve druhé hádance zkusíme na obrázek aplikovat myšlenku $$\frac{A}{B} \cdot B=\frac{A \cdot B}{B}=A$$ Konkrétně použijeme $$\frac{1}{3}\cdot3=\frac{1\cdot3}{3}=1$$ popřípadě $$\frac{100}{3}\cdot3=\frac{100\cdot3}{3}=100$$ Mějme tedy dva obrázky spolu s jejich číselnou reprezentací

A		$(1,100,1,100,1,100,1,100)$
B		$(3,3,3,3,3,3,3,3)$

Po dělení $$\frac{A}{B}$$ dostaneme hodnoty $$(0.33...,33.33...,0.33...,33.33...,0.33...,33.33...,0.33...,33.33...)$$ Pro zobrazení čísla jako barvy nemůžeme použít desetinnou část. Uvažujme tedy pro vykreslení do rastru pouze s celou a navíc pro lepší viditelnost vynásobenou třemi. Dostaneme hodnoty 0 a 99.

Obrázek vypadá na první pohled stejně jako původní A ovšem, jak vidíme, číselně se liší. Tam kde je 100 máme ve výsledném 99 a tam kde je 1 máme 0.

Co se stalo?

"Odpověď je samozřejmě jednoduchá" říkáte si :) Chyba vznikla uříznutím desetinné části o čemž se můžeme přesvědčit použitím zaokrouhlení. Místo $$0.99...\doteq0$$ $$99.99...\doteq99$$ dejme $$0.99...\doteq1$$ $$99.99...\doteq100$$ Dostaneme tedy původní obrázek A, jak napovídá matematická reprezentace na začátku.

Ovšem opět zbystřete!

Podívejme se znovu na hodnoty před zaokrouhlením: $$(0.99...,99.99...,0.99...,99.99...,0.99...,99.99...,0.99...,99.99...)$$ Jak je to možné? Proč má výsledný obrázek hodnoty $0.99...$ a $99.99...$, zatímco ten původní $1$ a $100$?

Otázka

Kde máme chybu? Proč nám bez zaokrouhlení nevyšel číselně stejný obrázek jako A?