Od explicitně zadaných křivek k parametrickým - 1. část

Tato série dvou článků ukáže důvod k použití parametrických křivek, a jak se k nim vlastně dojde. V prvním díle ukážeme přirozený způsob výpočtu a to přes explicitně zadané funkce.

Explicitní tvar

Křivku můžeme popsat funkcí ve tvaru $$y=f(x)$$ Na následujících obrázcích je pro příklad uvedeno několik funkcí jedné proměnné.

	$$y=4$$
	$$y=3x+2$$
	$$y=x^2$$
	$$y=x^3-x^2-5x+4$$

Pokud omezíme hodnoty $x$ ořízneme graf zleva i zprava. Funkce výše lze přepsat do polynomického tvaru $$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$$ Budeme používat polynomické funkce třetího stupně (maximální mocnina v polynomu bude tři) $$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$$ která nám poskytuje dostatečnou variabilitu. K vypočtení neznámých koeficientů $a_i$ potřebujeme zavést soustavu čtyř rovnic $$\begin{align*} y_0=a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+a_3x_0^3 \\ y_1=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+a_3x_1^3 \\ y_2=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+a_3x_2^3 \\ y_3=a_0+a_1x_3+a_2x_3^2+a_3x_3^3 \end{align*}$$ ze které vyplývá nutnost určení čtyř vstupních bodů o souřadnicích $[x_i,y_i]$.

Příklad

Mějme body

x	5	10	12	16
y	2	10	5	8

Z těch vypočteme koeficienty $a_i$ $$\begin{align*} a_0&=-96,77922078 \\ a_1&=33,95822511 \\ a_2&=-3,352922078 \\ a_3&=0,102489177 \end{align*}$$ které nám po dosazení určí křivku

definovanou funkcí $$y=-96,7792+33,9582x-3,3529x^2+0,1025x^3$$ což si můžeme ověřit.

Závěrem

Právě demonstrovaný postup nazýváme generování křivky z interpolačního polynomu. Pohodlné ztotožnění s funkcí nás ovšem dost limituje. Nejsme díky toho schopni definovat různě točené, nebo uzavřené tvary. Bylo by tedy velmi výhodné neodvozovat souřadnici $y$ ze souřadnice $x$, ale z nějaké nezávislé proměnné. Tou bude čas $t$ což nám změní výpočet souřadnic na $$\begin{align*} x(t)=a_{0,x}+a_{1,x}t+a_{2,x}t^2+a_{3,x}t^3 \\ y(t)=a_{0,y}+a_{1,y}t+a_{2,y}t^2+a_{3,y}t^3 \end{align*}$$ Křivku budeme v tomto zápisu geometricky chápat jako pohyb bodu v čase. Jak souřadnice $x$ tak $y$ je odvozena právě od něj, což nám umožní spojování, kroucení i protínání. Pokračování článku najdete zde.

Literatura a odkazy

KOLCUN, A. Parametrické modelovanie kriviek a plôch. Učební texty, Ostrava 2008.
KOLCUN, A. Parametrick é vyjadrenie kriviek a plôch. Učební texty, Ostrava 2008.
ŽÁRA, J.; SOCHOR, J.; BENEŠ, B.; FELKEL, P. Moderní počítačová grafika. Computerpress, Brno 2004.

http://herakles.zcu.cz/education/zpg/cviceni.php?no=11 - interaktivní zadávání křivek včetně teorie