Tato série dvou článků ukáže důvod k použití parametrických křivek, a jak se k nim vlastně dojde. V prvním díle ukážeme přirozený způsob výpočtu a to přes explicitně zadané funkce.
Explicitní tvar
Křivku můžeme popsat funkcí ve tvaru
\[
y=f(x)
\]
Na následujících obrázcích je pro příklad uvedeno několik funkcí jedné proměnné.
|
|
\[
y=4
\]
|
|
|
\[
y=3x+2
\]
|
|
|
\[
y=x^2
\]
|
|
|
\[
y=x^3-x^2-5x+4
\]
|
Pokud omezíme hodnoty $x$ ořízneme graf zleva i zprava. Funkce výše lze přepsat do
polynomického tvaru
\[
y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n
\]
Budeme používat polynomické funkce třetího stupně (maximální mocnina v polynomu bude tři)
\[
y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3
\]
která nám poskytuje dostatečnou variabilitu.
K vypočtení neznámých koeficientů $a_i$ potřebujeme zavést soustavu čtyř rovnic
\begin{align*}
y_0=a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+a_3x_0^3 \\
y_1=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+a_3x_1^3 \\
y_2=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+a_3x_2^3 \\
y_3=a_0+a_1x_3+a_2x_3^2+a_3x_3^3
\end{align*}
ze které vyplývá nutnost určení čtyř vstupních bodů o souřadnicích $[x_i,y_i]$.
Příklad
Mějme body
Z těch
vypočteme koeficienty $a_i$
\begin{align*}
a_0&=-96,77922078 \\
a_1&=33,95822511 \\
a_2&=-3,352922078 \\
a_3&=0,102489177
\end{align*}
které nám po dosazení určí křivku
definovanou funkcí
\[
y=-96,7792+33,9582x-3,3529x^2+0,1025x^3
\]
což si můžeme
ověřit.
Závěrem
Právě demonstrovaný postup nazýváme
generování křivky z interpolačního polynomu. Pohodlné ztotožnění s funkcí nás ovšem dost limituje. Nejsme díky toho schopni definovat různě točené, nebo uzavřené tvary. Bylo by tedy velmi výhodné neodvozovat souřadnici $y$ ze souřadnice $x$, ale z nějaké nezávislé proměnné. Tou bude čas $t$ což nám změní výpočet souřadnic na
\begin{align*}
x(t)=a_{0,x}+a_{1,x}t+a_{2,x}t^2+a_{3,x}t^3 \\
y(t)=a_{0,y}+a_{1,y}t+a_{2,y}t^2+a_{3,y}t^3
\end{align*}
Křivku budeme v tomto zápisu geometricky chápat jako pohyb bodu v čase. Jak souřadnice $x$ tak $y$ je odvozena právě od něj, což nám umožní spojování, kroucení i protínání.
Pokračování článku najdete
zde.
Literatura a odkazy
KOLCUN, A. Parametrické modelovanie kriviek a plôch. Učební texty, Ostrava 2008.
KOLCUN, A. Parametrick é vyjadrenie kriviek a plôch. Učební texty, Ostrava 2008.
ŽÁRA, J.; SOCHOR, J.; BENEŠ, B.; FELKEL, P. Moderní počítačová grafika. Computerpress, Brno 2004.
http://herakles.zcu.cz/education/zpg/cviceni.php?no=11 - interaktivní zadávání křivek včetně teorie
Žádné komentáře:
Okomentovat