Přímka a derivace

Zaměřme se na to co je přímka a jaké pro ni můžeme najít uplatnění. Budeme pracovat s obecnou rovnicí ve tvaru $$y=ax+b$$ kde $x$ je volené, $a$ je směrnice dané přímky a $b$ bod na ose $y$ ve kterém ji protíná.

Definice

V euklidovském prostoru je přímka jednoznačně definovaná dvěma body, kterými prochází. Je nekonečně dlouhá a pokud její délku omezíme z obou stran, dostáváme úsečku. Na obrázku máme pro příklad přímku $$y=2x+2$$

Přímka prochází na ose $y$ bodem 2, což vyplývá z $b=2$ a je dost strmá, což vyplývá z $a=2$. Můžeme zkontrolovat, že po dosazení bodů $Z$ a $K$ dává rovnice správný výsledek. Pro $Z=[0,2]$ $$y_z=2x_z+2=2\cdot 0+2=2$$ a pro $K=[1,4]$ $$y_k=2x_k+2=2\cdot 1+2=4$$ Teď si řekněme, jaký je význam směrnice $a$. Jednoduše - o kolik jednotek na ose $y$ musím posunout bod $P_i$ pokud ho na ose $x$ posunu o jednu. Směrnice se vypočítá následovně $$a=\frac{y_k-y_z}{x_k-x_z}=\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$$

Derivace

Hodnota derivace je směrnice tečny v daném bodě funkce. V příkladu výše máme směrnici rovnou dvěma. To znamená, že když hodnota na ose $x$ následujícího bodu vzroste o jedna, tak na ose $y$ vzroste o dva. Jakou směrnici má přímka vodorovná s osou $x$? Jinými slovy můžeme říct, o kolik mi musí vzrůst hodnota $y$, pokud zvětším $x$ o jedna? Správná odpověď je nula. Předpokládáme tedy, že směrnice přímky, která je vodorovná s osou $x$, bude 0. Podívejme se na následující obrázek.

Směrnice červené přímky bude určitě 0 (je rovnoběžná s osou $x$). Co nám z toho plyne z hlediska funkce vykreslené modře? Přímka prochází bodem $B$ a je v daném bodě tečnou k funkci $f$. Tedy směrnice této přímky je rovna derivaci funkce $f$ v bodě $B$. Zároveň je zřejmé, že v bodě $B$ dosahuje funkce lokálního maxima. Můžeme tedy říct, že místo kde funkce dosahuje lokálního extrému (minima nebo maxima) je tečna rovnoběžná s osou $x$ a tudíž má směrnici (derivaci) rovnou nule.

Literatura a odkazy

DELVENTHAL, K. M.; Kissner, A.; Kulick M. Kompendium matematiky. Universum, 2004.
VINCE, J. Mathematics for computer graphics (second edition). Springer, 2006.

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

http://edu.uhk.cz/~havigji1/zmat1/derivace.htm - derivace interaktivně