Počítačová grafika: Interpolační splajn

V článku rozebereme na příkladu aplikaci interpolačního splajnu složeného ze dvou parabol. Mějme vstupní body \begin{align*} P_0&=[-2;-8] \\ P_1&=[0;0] \\ P_2&=[3;12] \\ P_3&=[4;40] \end{align*} První parabola nechť je definována body $P_1,P_2,P_3$ \begin{align*} 0&=a_0+0a_1+0a_2 \\ 12&=a_0+3a_1+9a_2 \\ 40&=a_0+4a_1+16a_2 \end{align*} Řešením této soustavy bude \begin{align*} a_0&=0 \\ a_1&=-14 \\ a_2&=6 \end{align*} a grafické znázornění

Druhá parabola definována body $P_0,P_1$ bude zapsána následovně \begin{align*} -8&=b_0-2b_1+4b_2 \\ 0&=b_0+0b_1+0b_2 \end{align*} Jak je vidět, máme dvě rovnice a tři neznámé $b_0,b_1,b_2$. Potřebujeme pro vyřešení zavést další a tou bude podmínka pro hladké napojení. Derivace funkcí první a druhé paraboly musí být rovny, tedy \begin{align*} (a_0+a_1x+a_2x^2)'&=(b_0+b_1x+b_2x^2)' \\ a_1+2a_2x&=b_1+2b_2x \end{align*} Křivky budeme chtít napojit v bodě $P_1$. Zjistíme hodnotu derivace funkce v jeho x-ové souřadnici \begin{align*} y_a'(0)=a_1+2a_2\cdot0=a_1=-14 \end{align*} Protože druhá parabola musí mít v bodě $P_1$ stejnou směrnici $-14$ dostaneme pro její derivaci \begin{align*} -14&=y_b'(0) \\ -14&=b_1+2b_2\cdot0 \\ b_1&=-14 \end{align*} Dosaďme $b_1$ do rovnic pro druhou parabolu \begin{align*} -8&=b_0-2\cdot(-14)+4b_2 \\ 0&=b_0+0\cdot(-14)+0b_2 \end{align*} Po převedení číselných konstant doleva dostáváme \begin{align*} -36&=b_0+4b_2 \\ 0&=b_0+0b_2 \end{align*} Výsledkem jsou hodnoty \begin{align*} b_0&=0 \\ b_1&=-14 \\ b_2&=-9 \end{align*} a obrázek