Grafická hádanka

Pojďme vyzkoušet, co se stane se dvěma totožnými obrázky po aplikaci několika aritmetických operací.

=

Řekněme, že chceme oba trochu prosvětlit. Vynásobme tedy každý z nich sebou samým.

$\cdot$

=

$\cdot$

Vstupní obrázek vypadá z hlediska čísel takto
$$\left( \begin{array}{cccccccccc} 15 & 15 & 15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 15 & 15 \\ 15 & 15 & 0 & 15 & 15 & 15 & 15 & 0 & 15 & 15 \\ 15 & 0 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 0 & 15 \\ 0 & 15 & 0 & 0 & 15 & 15 & 0 & 0 & 15 & 0 \\ 0 & 15 & 0 & 0 & 15 & 15 & 0 & 0 & 15 & 0 \\ 0 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 0 \\ 0 & 15 & 15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 15 & 0 \\ 15 & 0 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 0 & 15 \\ 15 & 15 & 0 & 15 & 15 & 15 & 15 & 0 & 15 & 15 \\ 15 & 15 & 15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 15 & 15 \end{array} \right)$$
Pokud spolu vynásobím nuly, dostanu novou hodnotu pixelu rovnu 0. Pokud vynásobím patnáctky, dostanu 225.

=

Nový obrázek vypadá číselně takto
$$\left( \begin{array}{cccccccccc} 225 & 225 & 225 & 0 & 0 & 0 & 0 & 225 & 225 & 225 \\ 225 & 225 & 0 & 225 & 225 & 225 & 225 & 0 & 225 & 225 \\ 225 & 0 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 0 & 225 \\ 0 & 225 & 0 & 0 & 225 & 225 & 0 & 0 & 225 & 0 \\ 0 & 225 & 0 & 0 & 225 & 225 & 0 & 0 & 225 & 0 \\ 0 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 0 \\ 0 & 225 & 225 & 0 & 0 & 0 & 0 & 225 & 225 & 0 \\ 225 & 0 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 225 & 0 & 225 \\ 225 & 225 & 0 & 225 & 225 & 225 & 225 & 0 & 225 & 225 \\ 225 & 225 & 225 & 0 & 0 & 0 & 0 & 225 & 225 & 225 \end{array} \right)$$
Teď ho na každé straně odečtěme.

-

=

-

Dostaneme nuly, což odpovídá černým plochám.

Matematicky můžeme říct, že pokud je náš původní obrázek $A$, pak nový obrázek bude $A\cdot A$ tedy $A^2$. Znázorněný rozdíl tedy můžeme přepsat na $$A^2-A^2=A^2-A^2$$ Aplikujme jeden ze základních vzorců $$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$$ a pravidlo vytýkání, pro dosažení výrazu $$A(A-A)=(A-A)(A+A)$$ Vraťme se k obrázkům. Levá strana bude vypadat

$\cdot$

(

-

)

a pravá strana

(

-

)

$\cdot$

(

+

)

Dostaneme po úpravách vlevo i vpravo černou plochu, což odpovídá. Protože máme na obou stranách stejné výrazy, vykraťme je.

=

+

Sečteme členy na pravé straně a máme výsledek.

=

Na první pohled všechno sedí. Máme dva totožné obrázky, které se rovnají tak jako na začátku. Jak by taky ne, dělali jsme na obou stranách ty samé úpravy.

Ovšem pozor! :)

Podívejme se pořádně na výsledný obrázek vpravo. I když vypadá stejně, součet na něm zanechal stopy. V číslech máme
$$\left( \begin{array}{cccccccccc} 30 & 30 & 30 & 0 & 0 & 0 & 0 & 30 & 30 & 30 \\ 30 & 30 & 0 & 30 & 30 & 30 & 30 & 0 & 30 & 30 \\ 30 & 0 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 0 & 30 \\ 0 & 30 & 0 & 0 & 30 & 30 & 0 & 0 & 30 & 0 \\ 0 & 30 & 0 & 0 & 30 & 30 & 0 & 0 & 30 & 0 \\ 0 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 0 \\ 0 & 30 & 30 & 0 & 0 & 0 & 0 & 30 & 30 & 0 \\ 30 & 0 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 30 & 0 & 30 \\ 30 & 30 & 0 & 30 & 30 & 30 & 30 & 0 & 30 & 30 \\ 30 & 30 & 30 & 0 & 0 & 0 & 0 & 30 & 30 & 30 \end{array} \right)$$
Co se stalo a jak je to možné?

Otázka

Kde máme ve výpočtu chybu? Pokud tam chyba není, proč se výsledný obrázek liší od původního?